Výpočet trojúhelníku
Výpočet obsahu, obvodu a úhlů trojúhelníku ze zadaných stran nebo úhlů
Vzorce pro výpočet trojúhelníku
Heronův vzorec (obsah ze 3 stran)
Pokud známe všechny tři strany a, b, c, vypočítáme obsah pomocí Heronova vzorce:
s = (a + b + c) / 2 (polovina obvodu)
S = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c))
Kosinová věta (úhly ze stran)
Úhel naproti straně c:
cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab)
Analogicky pro ostatní úhly.
Sinová věta
a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Umožňuje dopočítat neznámé strany nebo úhly, pokud známe alespoň jednu stranu a dva úhly nebo dvě strany a úhel naproti jedné z nich.
Výšky trojúhelníku
Výška na stranu a: va = 2S / a
Analogicky pro výšky na strany b a c.
Poloměr vepsané kružnice (r)
r = S / s, kde s je polovina obvodu.
Poloměr opsané kružnice (R)
R = (a · b · c) / (4S)
Typy trojúhelníků
| Typ | Vlastnost |
|---|---|
| Rovnostranný | Všechny strany i úhly jsou shodné (60°) |
| Rovnoramenný | Dvě strany jsou shodné |
| Různostranný | Všechny strany mají různou délku |
| Pravoúhlý | Jeden úhel je 90° |
| Ostroúhlý | Všechny úhly jsou menší než 90° |
| Tupoúhlý | Jeden úhel je větší než 90° |
Trojúhelníková nerovnost
Aby tři délky mohly tvořit trojúhelník, musí platit: součet libovolných dvou stran musí být větší než strana třetí. Tedy a + b > c, a + c > b a b + c > a.